積分 1/(cosx)^3

積分 1/(cosx )^3 

1 cos 3 x dx

1 cos 3 x dx = cosx cos 4 x dx = cosx ( 1 sin 2 x ) 2 dx    (∵ cos 2 x = 1 sin 2 x  

sinx=t  とおいて置換積分を行う.

dt dx =cosxcosxdx=dt  

よって

与式 = 1 ( 1 t 2 ) 2 dt

= 1 ( 1+t ) 2 ( 1t ) 2 dt  

= 1 4 { 1 ( 1+t ) 2 + 1 1+t + 1 ( 1t ) 2 + 1 1t }dt  

   部分分数に分解する) 

= 1 4 { 1 1+t +log| 1+t |+ 1 1t log 1 t }+C  

= 1 4 { ( 1t )+( 1+t ) ( 1+t )( 1t ) +log 1+t 1t }+C

= 1 4 { 2t ( 1+t )( 1t ) +log 1+t 1t }+C

= 1 2 t 1 t 2 + 1 4 log| 1+t 1t |+C

= 1 2 sinx 1 sin 2 x + 1 4 log| 1+sinx 1sinx |+C

= 1 2 sinx cos 2 x + 1 4 log( 1+sinx 1sinx )+C  

部分積分を用いた解法

1 cos 3 x dx = 1 cos 2 x 1 cosx dx

=( tanx ) 1 cosx ( tanx ) sinx cos 2 x dx

= sinx cos 2 x sin 2 x cos 3 x dx

= sinx cos 2 x 1 cos 2 x cos 3 x dx

= sinx cos 2 x 1 cos 3 x dx + 1 cosx dx

これより

1 cos 3 x dx = sinx cos 2 x 1 cos 3 x dx + 1 cosx dx

1 cos 3 x dx について整理すると

1 cos 3 x dx = 1 2 ( sinx cos 2 x + 1 cosx dx )

また

1 cosx dx = 1 2 log( 1+sinx 1sinx )    (積分定数は省略している.計算はここを参照)

以上より(積分定数 C を付け加えると)

1 cos 3 x dx = 1 2 sinx cos 2 x + 1 4 log( 1+sinx 1sinx )+C

 

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最終更新日:2023年1月30日